Question

求抽象的多元复合函数的偏导数

有没有大神能给我详细解答下，每一步到下一步怎么变来的啊？特别是第一步道第二步，题目是Z=f(x-y,xy^2)

Answer 1

以<>表示下标。
z = f(x-y,xy^2) = f(u,v), 其中 u = x-y, v = xy^2, 得
z'<x> = f'<u>u'<x>+f'<v>v'<x> = f'<u>+y^2f'<v>,
z'<y> = f'<u>u'<y>+f'<v>v'<y> = -f'<u>+2xyf'<v>.
z''<xy> = [f'<u>+y^2f'<v>]'<y>
= f''<uu>u'<y>+f''<uv>v'<y>+2yf'<v>+y^2[f''<vu>u'<y>+f''<vv>v'<y>]
= -f''<uu>+(2xy-y^2)f''<uv>2xy^3f''<vv>+2yf'<v>
上述是典型的复合连续函数求二阶偏导数，写法规范。
你的式子中 z 对 u，v 取偏导数，虽不算错，但习惯上写 f 对 u，v 取偏导数，
另外的 z (不取偏导处) 应为 2， 故错误。

Answer 2

在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定(相对于全导数，在其中所有变量都允许变化)。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。