Question

初中数学有关二次函数压轴题

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Answer 1

【1】设抛物线方程的一般式为y=ax^2+bx+c。
A(0,6): y=(0)a+(0)b+c=c=6
B(-3,0): y=(9)a+(-3)b+c=9a-3+c=0
C(6,0): y=(36)a+(6)b+c=36a+6b+c=0
联解得：a=-1/3，b=1，c=6
抛物线方程为：y=-(1/3)x^2+x+6
【2】设P(x,0)，麻烦按题意自己作图：P(x,0)及PE//AB交AC于E。
|BC|=9, |AB|=45^.5=3(5^.5), |AC|=72^.5=6(2^.5)
|PE|=|AB|·|PC|/|BC|=(45^.5)(6-x)/9=(5/9)^.5(6-x)
|AE|=|AC|·|BP|/|BC|=(72^.5)(x+3)/9=(8/9)^.5(x+3)
三角形APE面积=|PE|·|AE|·sin(角AEP)=(6-x)(x+3)(40/81)^.5·sin(角AEP)
(三角形APE面积)'=(-2x+3)[(40/81)^.5·sin(角AEP)]=0 => x=1.5
三角形APE面积最大值出现在P(1.5,0)处。最大面积可以由上式算出，但这里可以用几何图形的特殊性得到。P是BC的中点，进而E是AC的中点，所以由（APC）面积=（APB）面积，（APE）面积=（BPE）面积=（ABC）面积/4=(1/2)(9)(6)/4=6.75
【3】设G(x, -(1/3)x^2+x+6)，麻烦按题意自己作图：G(x, y)[在抛物线上]，连接GA、GC。
直线AC的方程是y=6-x，即x+y-6=0。G到直线AC的垂直距离是：
d=|(x) + (-(1/3)x^2+x+6) + (-6)| / (1+1)^.5
= |-(1/3)x^2+2x|/(2^.5)
于是，（AGC）面积是 |AC|·d/2=(9/2)|-(1/3)x^2+2x|/(2^.5)
让（AGC）面积=（AEP）面积，即
(9/2)|-(1/3)x^2+2x|/(2^.5)=27/4
求解这个二元一次方程，得两个解：x=3(1+/-0.5)，即
在 G(3/2, 27/4) 或 G(9/2, 15/4) 时 （AGC）面积=（APE）=27/4
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