Question

分段函数左右极限不等怎么办

Answer 1

我们平时的教学中，涉及到左右极限时，我们经常
前倨后恭、自相矛盾，却又没有自知之明。
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1、我们平时所说的是：
左极限存在，右极限存在，并且左右还得相等，我们才说某点的极限存在。
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2、这句话的原意是强调：
我们说某点处的极限存在，是要求只有一个结果，也就是左右极限必须相等。
否则的话，就是该点有两个不相等的极限。
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3、由于我们过多地、过度地强调了这句话，就给了一个错误的心理暗示：
只要左极限、右极限不相等，就是极限不存在。
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事实上，我们在计算广义积分、暇积分(英文不分，只是improper integral)时，
通常都是要计算单侧极限，而以单侧极限的结果作为答案。
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若过度理解，极限必须是左右极限皆存在，并且一定要相等，才能谈任何计算
的话，那么所有的 improper integral 都无法计算。
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现在回答楼主的问题：
A、对于分段函数 piecewise function，若某点的左右极限不等，则：
a、该点极限不存在；
b、但可以说该点，左极限是多少多少，右极限是多少多少。
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B、若涉及积分，就按单侧计算积分后的极限，不受左右极限必须存在且相等制约。
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