Question

极限中的任意小的正数为什么是任意的又是给定的

Answer 1

1、ε 确实是任意给的，但不是确定的！
ε 可以随时更改，可以改得越来越小，但 ε 并不是无穷小；
ε 仅仅是一个象征性的很小的、可以任意更改的正数。
任意的意思：
可以任意地小；可以任意地更改；
针对任何一个给出的 ε 的情况下，找到 δ ，或 N，
这是极限证明的核心！
也就是说，
δ 或 N 是 ε 的函数，是由 ε 决定的；
随便更改 ε，δ 或 N 也随之更改。

2、就 ε-N 证明方法而言，
根据 ε ，计算出一个 N，这个 N 也不是固定的：
A、N 的取值跟 ε 紧密相关，或者说 N 由 ε 所确定；
B、但是，在具体证明时，为了证明过程的顺利进行，
可以取不同的 N。也就是说，根据 ε，解不等式，
原本可以解出一个 N，假设为 N₁，可能解题困难，
我们可以放大这个，变大成为 N₂，N₂ > N₁，为了
严格证明，我们取 N = N₂。
也可能写成 N = max{N₁, N₂, N₃, N₄, 、、、}。

然后，当 n > N 时，由极限计算式算出的值，跟极限值之差，
就小于 ε，证明就结束了。

3、极限证明的过程，其实就是：
A、一个争吵的过程；一个无穷列举理论化的过程；
B、一个无止尽耍赖皮的过程，ε 可以任意给，也就是可以更改，
根据 ε 找到 N 的过程，就是理论化的过程。无论怎样更改 ε，
无论怎样耍无赖，只要 ε 给得出，N 就找得到。
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这个过程就是理论化的过程，就是tendency的过程。
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只是我们的教学，过于花拳绣腿，大大咧咧地忽视了tendency，
仅仅着重于极限的限limiting、limitation。
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如果认识不到这点，到头来，是不可能获得真正的感悟的。
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学过极限证明理论的人每年千千万万，绝大多数，只是凑热闹而已。
他们永远悟不出真谛，包括绝大多数数学教师，都是人云亦云，不知所云。
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加油吧！
极限理论已经成熟了几百年了，极限理论的建立与完善，
跟我们没有丝毫的关系，我们完全没有半毛钱的贡献！
极限理论，对我们来说，完全是舶来品！完全是山寨！
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极限的理论，是鬼子建立的，是鬼子整合的，是鬼子完善的；
我们是，并且仅仅只是学习，只是摇旗呐喊，只是歌功颂德，
只是人云亦云，只是鹦鹉学舌，只是模仿秀，别无其他。
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迄今为止，
A、我们的教师在教书时，会下意识地暗示学生，似乎极限理论的建立，
我们也起了什么作用！
B、极限理论似乎刚建立起来不久，更好像还在建立过程中！
这些是刻意的误导！刻意的忽悠！
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经常有学生问：
1、极限理论研究的现状如何？
2、我国目前对极限研究的现状如何？
、、、、、、、、、
这些问题的提出，都一再表明，可怜的孩子们已经被可恶的教师们当成了白痴在玩弄！
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加油吧！任重而道远！
任重在于，雪耻教师们对当代科学毫无贡献的耻辱！
道远在于，纠正教师们有意无意的根深蒂固的误导！