Question

高三 高中 数学 数列 怎么做！！

Answer 1

（1）由题 1/an-1=【1/a（n-1）-1】1/2
即（1/an-1）/【1/a（n-1）-1】=1/2
所以{1/an-1}是等比数列
（2）1/an-1=（1/2）的n次方
所以1/an=（1/2）的n次方+1
所以n/an=n/2的n次方+n
令原式=Sn
Sn=1/2+2/2²+......+n/2的n次方+（n+1）n/2 ①
Sn/2=1/2²+2/2³+......+（n-1）/2的n次方+n/2的（n+1）次方+（n+1）n/4 ②
①-② 得Sn/2=1/2+【1-（1/2）的n次方】/2-n/2的（n+1）次方+（n+1）n/4
所以原式=Sn=2-（1/2）的n次方-n/2的（n+2）次方

Answer 2

a1=2/3,1/a1=3/2
1/a1-1=1/2
P1(2/3,3/2)
A1(2/3,1)
P1A1中点的纵坐标为5/4
5/4=1/a2
a2=4/5,P2(4/5,5/4)
1/a2-1=1/4
同理
1/a3=(5/4+1)/2=9/8
1/a3-1=1/8
P3(8/9,9/8)
…
用数学归纳法，易得出Pn(2^n/(2^n+1),(2^n+1)/2^n)
1/an-1=1/2^n
(1/an-1)/[1/a(n-1)-1]
=(1/2^n)/[1/2^(n-1)]
=1/2
且1/a1-1=1/2
所以数列{1/an-1}是首项和公比均为1/2的等比数列，且
1/an-1=1/2*(1/2)^(n-1)=1/2^n
1/an=1+1/2^n

n/an=n+n/2^n
Sn=1/a1+2/a2+…+n/an
=(1+1/2)+(2+2/2^2)+…+(n+n/2^n)
=(1+2+…+n)+(1/2+2/2^2+…+n/2^n)
=n(n+1)/2+Tn
记
Tn=1/2+2/2^2+…+n/2^n
1/2*Tn= 1/2^2+2/2^3+…+(n-1)/2^n+n/2^(n+1)
1/2*Tn=[1/2+1/2^2+…+1/2^n]-n/2^(n+1)
=1/2*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-n/2^(n+1)
=1-1/2^n-n/2^(n+1)
Tn=2-1/2^(n-1)-n/2^n
=(2^(n+1)-n-2)/2^n
所以
Sn=n(n+1)/2+(2^(n+1)-n-2)/2^n