Question

大一高数请教

Answer 1

你好！该曲线是y=e^x

答案如图所示：

先画出坐标系，如上图所示

则y=y(x)过P(x,y)的切线方程：

Y-y(x)=y'(x)(X-x)，它与x轴的交点为(x-y/y'，0)

又y'(x)>0，且y(0)=1

因此y(x)>0，(x>0)

所以S1=1/2*y*| x-(x-y/y') | = y²/2y'

又因为S2=∫(0,x) y(t) dt

根据2S1-S2=1，得

y²/y' - ∫(0,x) y(t) dt = 1...（1）

则x=0,有y'(0)=1

对（1）式两端求导，得

(y')^2 = yy''

令y'=p，则有

y*p*dp/dy = p^2

分离变量得：dp/p = dy/y

解得p = C1*y

dy/dx = C1*y

y = e^(C1*x+C2)

又因为y(0)=y'(0)=1，代入得

C1=1,C2=0

故所求曲线方程为

y=e^x

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