Question

若函数y=f(x)关于点(a,0)中心对称,有关于x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且周期T=4la-b|,

,这个性质如何证明

Answer 1

关于(a,0)中心对称，那么f(a-x)=-f(a+x)【此处理解记忆可以将x看成横坐标到a的距离】
又关于x=b对称，那么有f(b-x)=f(b+x)
把第一个等式左边a-x换成x,那么有f(x)=-f(a+a-x)=-f(2a-x)
同理第二个有f(x)=f(2b-x)
所以f(2b-x)=-f(2a-x)
再把2b-x看成x
那么f(x)=-f(2a-2b+x)
再推一步(就是加一个2a-2b变一次正负)有f(x)=f(4a-4b+x)
所以周期是4|a-b|