Question

急！跪求下面问题答案（关于抽象代数），在线等

前面1——12题只求答案，下面第二题要写过程。数学高手帮帮忙啊

题目在下面的空间里 http://hi.baidu.com/ghostliugen/blog/item/c0ef1cfea4b40e49d6887d8c.html

Answer 1

第一题：容易验证跟192不互素的数都是零因子。所以要找0到191里面比与192互素的数的个数。192=2^6*3，只要把2和3的倍数剔除就好了吧。应该是形如6k+1,6k+5的数。所以是192÷6×2=64个

第二题：首先x^5-y^2在ker里面，希望证明（x^5-y^2）=Kerf
任意u属于kerf,u=∑cij*x^i*y^j,先按y降幂排列，而且可以把y^2“换成”x^5,比如y^3=y(y^2-x^5)+yx^5=yx^5。P(x)
所以u=G(x,y)*(x^5-y^2)+y*P(x)+Q(x),PQ多项式
u属于Kerf，所以y=t^5,x=t^2后上式等于0，但是y*P(x）的t的次数都是5+2k的形式，Q（x）的t的次数都是2k的形式，线性无关
所以f(u)=0当且仅当f(P)=f(Q)=0，于是u属于x^5-y^2生成的主理想
所以kerf=(x^5-y^2)

三：
m∈Z/n,且m∈nilradical I,则m^k=0, 则m^k=p^e*t,t属于Z，则p|m^k,则p|m，所以（p）包含I
反之，任意m∈（p），则m=pq,则m^e=p^e*q^e≡0（mod n），所以反包含成立
所以I=(I)
四：
首先2(2x+3)-(4x-3)=9属于I=(4x-3,2x+3),引进9=0之后发现4x-3已经被2x+3和9生成了，也就是说
这个环就是Z[x]/(2x+3,9)
因为x-3=9x-4(2x+3)+9,所以x-3属于I,而且I=（x-3,9），好了，终于有个monic的多项式了
于是每个元素都化成(x-3)p(x)+k，于是只有0~8这9个元素
五:
第五题有点超过我的知识了，我现在上的抽代还在讲环，这个貌似跟hilbert零点定理有关，我看artin的书看过，不是掌握的很好，我试试……

C[x,y]/(@@,@@)里的极大理想应该和包含I=（y^2-x^3-1,y-x）的C[x,y]的极大理想有1-1对应
而C[x,y]的极大理想都是[x-a,y-b]的形式，其中a,b属于C（请看Artin第十章第7还是第8节，挺难证的）
设I=（x-a,y-b）=(y^2-x^3-1,y-x)因为y-x-b+a和y-x都属于I，如果a-b不是0，那么I里面就有一个非零复数（是unit），则I=C【x,y】,与极大理想定义矛盾。所以a=b
于是就是x=y=a要满足y^2-x^3-1=0的方程，应该有3个解
于是答案是3

六：
辗转相除应该可以做：记g.c.d=d
x^20-1-x^8(x^12+1)=-x^8-1
x^12+1-x^4(x^8+1)=1-x^4
x^8+1-x^4(x^4-1)=1+x^4
x^4+1-(x^4-1)=2
所以d|2，而2不行，所以d=1

七.不是很明白，题目意思是说in Z / 2(x)吗？还是Z/(2) [x]
不过应该都不难

八.救命，module也只是粗浅看过，知道阿贝尔群结构定理，但是课内还没学到……不懂
九.同样不懂诺特环……

十。其实就是把4和3分拆，4=4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1；3=3=2+1=1+1+1。数数就会发现有5*3个可能

十一.囧，到域了……
u=sqrt(-3)+sqrt(3)=sqrt(3)(1+i),u^2=3*2i=6i, u^4=-36
所以u在Q中的极小多项式f(x)整除x^4+36=(x^2+6)(x^2-6)
发现上述2个2次式代入u=根号（-3）+根号3之后都不成立，所以f=x^4+36

十二.直接套卡当公式吧……我不算了

原来你说的第二题在这里！！！我还以为是上面那道……ORZ...............

final 2:
等价于要证可以通过有限次二次扩域，扩出x^4-x^2-1的根
而x^4-x^2-1=[(x^2)-(1+sqrt(5))/2][(x^2)-(1-sqrt(5))/2]
于是只要构造二次扩域的链：
Q＜L1=Q（sqrt(5)）＜L2=L1(根号（(1+sqrt(5))/2）)＜L3=L2（根号(1-sqrt(5))/2）
然后4个根都在L3里面了！！

好啦！！
求加分……累死了