Question

用定义证明lim(根号（n^2+1）)/n=1

Answer 1

n^2+1

< n^2+2n+1

=(n+1)^2

|√(n^2+1) /n - 1|< ε

|√(n+1)^2/n -1 | < ε

1/n <ε

n> 1/ε

∀ε >0 , ∃N = [1/ε] + 1 st

|√(n^2+1) /n - 1|< ε

=>

lim(n->∞) √(n^2+1) /n =1

扩展资料：

极限的求法

1、恒等变形

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：

（1）因式分解，通过约分使分母不会为零。

（2）若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

（3）以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

当然还会有其他的变形方式，需要通过练习来熟练。

2、通过已知极限

特别是两个重要极限需要牢记。

3、采用洛必达法则求极限

洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。

Answer 2

n^2+1
< n^2+2n+1
=(n+1)^2

|√(n^2+1) /n - 1|< ε
|√(n+1)^2/n -1 | < ε
1/n <ε
n> 1/ε
∀ε >0 , ∃N = [1/ε] + 1 st
|√(n^2+1) /n - 1|< ε
=>
lim(n->∞) √(n^2+1) /n =1