Question

设f(x)在[a,b]上连续,a<c<d<b.试证对任意的正数p,q,至少存在一个&属于[c,d],使pf(c)+qf(d)=(p+q)f(&)

设f(x)在[a,b]上连续,a<c<d<b.试证对任意的正数p,q,至少存在一个&属于[c,d],使pf(c)+qf(d)=(p+q)f(&)

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Answer 1

证明：
令k=[pf(c)+qf(d)]/(p+q)
无妨设f(c)≤f(d),由于q是正数，所以
qf(c)≤qf(d)
pf(c)+qf(c)≤pf(c)+qf(d)
(p+q)f(c)≤pf(c)+qf(d) ①
因为p是正数，从而p+q是正数，所以①式两端同除以p+q，得
f(c)≤[pf(c)+qf(d)]/(p+q)
即f(c)≤k ②

同理，pf(c)≤pf(d)
pf(c)+qf(d)≤pf(d)+qf(d)
pf(c)+qf(d)≤(p+q)f(d)
[pf(c)+qf(d)]/(p+q)≤f(d)
即k≤f(d) ③

综合②，③两式，得
f(c)≤k≤f(d)
因为f(x)在[c,d]上连续，所以由连续函数的介值定理可知
存在&∈[c,d]，使得
f(&)=k
即f(&)=[pf(c)+qf(d)]/(p+q)
上式两端同乘以p+q,便得
pf(c)+qf(d)=(p+q)f(&) 证完。

注：原题的已知条件有多余的部分，可改述如下：
设f(x)在[c,d]上连续,试证对任意的正数p,q,至少存在一个&属于[c,d],使
pf(c)+qf(d)=(p+q)f(&).

原已知条件中出现的[a,b]，a<c<d<b，[c,d]好像只需用到一个很明显的事实：
在一个区间上连续的函数，在这个区间的任何子区间上也连续。

Answer 2

本题是对于任何正整数p,q,否则有问题.
构造函数g(x)=pf(c)+qf(d)-(p+q)f(x).
当f(c)=f(d)时,g(c)=0,所以存在一点ζ=c,使得pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ζ).
当f(c)≠f(d)时,g(c)g(d)=pq(f(c)-f(d))(f(d)-f(c))<0.所以函数g(x)至少存在一点ζ∈(a,b),使得g(ζ)=0. 即至少存在一点ζ∈(a,b),使得pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ζ).