Question

[考研数学]，答案选B，求解题步骤！设f(x)连续，f(0)=1，且当x趋向于0时，

[考研数学]，答案选B，求解题步骤！设f(x)连续，f(0)=1，且当x趋向于0时，积分f(t)dt，上限(x-sin(x))，下限0与aln(1+x^b)为等价无穷小，则a，b的值为？

Answer 1

解：分享一种解法。
由积分中值定理，有∫(0,x-sinx)f(t)dt=(x-sinx)f(ξ)，其中0<ξ<x-sinx。∴当x→0时，ξ→0。而f(x)连续，∴lim(ξ→0)f(ξ)=f(0)=1。∴x→0时，∫(0,x-sinx)f(t)dt~(x-sinx)。
又，x→0时，sinx~x-(1/6)x^3，ln(1+x)~x，∴x-sinx~(1/6)x^3、aln(1+x^b)~ax^b。∴根据等价无穷小的定义，有a=1/6、b=3。
故，选B。供参考。