Question

一条直线可以将一个平面分成两个区域，两条直线最多可以将一个平面分成四个区域，

那么5条直线最多可以将一个平面分成几个区域？10条直线呢？

Answer 1

5条直线应该最多可以分成16个区域
10条则为56个
一条直线可以分成两个区域，而若再加一条，要使分成区域最多，就是所加的这条分别穿过前面分得的两个区域，这样被穿过的区域就又分成两个了，再加一条，就是尽量多的穿过先前分得的区域，因此也就势必要与其他所有的线相交，因此我们得知，交点越多，所分区域越多。每加一条直线，就多先前直线条数n个交点，这些交点将所加的直线分成n+1段，每一段就将原来的区域分成两个，就是增加了n+1个区域
所以我们设n条直线最多有A(n)个区域，则n+1条直线有A(n+1)。
A(n+1)=A(n)+n+1

A(n+1)-A(n)=n+1
A(n)-A(n-1)=n
A(n-1)-A(n-2)=n-1
....
A(2)-A(1)=2
将上面所有式子相加得A(n+1)-A(1)=(n+1+2)*n/2
A(n+1)=(n+3)*n/2 + 2
A(n)=(n+2)*(n-1)/2 + 2
即n条直线所分得做多区域为 (n+2)*(n-1)/2 + 2 个

Answer 2

设n条直线最多可将平面分成A(n)个区域。第n+1条直线与原n条直线最多有n个交点，将第n+1条直线分成n+1段，每一段最多分出一个区域，所以 A(n+1)=A(n)+n+1，由递推可求A（n）通项公式。