Question

高数中零点定理，为什么ξ要取在相应的开区间，闭区间上不成立吗？为什么

高数中零点定理，为什么ξ要取在相应的开区间，闭区间上不成立吗？为什么结论是在开区间里至少存在一个点ξ，使f(x)=0，
开区间都能取到的数，闭区间也肯定可以取到啊？

Answer 1

首先来看零点定理的条件：f(x)在闭区间上连续，且f(a)·f(b)<0。
也就是满足这个条件后面的结论才成立。
结论是什么呢？——开区间（a,b）内至少有一点ξ，使得f(ξ)=0。
那既然第一行条件已经说了f(a)·f(b)<0，那f(a)和f(b)必然不可能等于0。
那自然满足f(ξ)=0的ξ这个点就不可能在a、b上取得了，所以用的是开区间。

发散思维一下，如果我非得说在闭区间[a,b]上有这个点ξ使得f(ξ)=0呢？那就相当于ξ能取到的范围多了两个端点，ξ能=a或者=b，然后前提条件又是f(a)·f(b)<0，你又要f(a)或f(b)等于0，那不就矛盾了嘛，所以这个结论不成立，或者说取不到a,b这两个点，故为开区间。

Answer 2

零点定理条件是两个端点值异号哦，也就是端点处不可能为0的，所以开区间更精准