Question

求偏导数的问题 简单的 求大神帮忙解答一下 谢谢啦

求偏导数的问题 简单的 求大神帮忙解答一下 谢谢啦图片那里方程两边求偏导数 求了之后为什么方程两边还相等呢 ? 我觉得不一定啊
比如y=x的平方 两边对x偏导 就不相等了啊？
怎么理解呢？

Answer 1

x和y是独立自变量，等式相等是因为都等于零，即使y是x的函数，也是相等的

追问

追答

Fx是隐函数关于x的偏导，将y看做常量，对隐函数求导，所得的函数记为Fx，它是一个关于x,y的函数，式子两边同式求导时，y是一个变量，而不能看做常量。所以你追问的都算错了，第一Fy=g（x,y）某一函数，第二Fy=f（x），如果在第二条件下，则g（x,y）=f（x）,即g（x,y）的值跟y无关

追问

书上就这样的啊

例4

问号那里

追答

Fy是x,y的函数没错，这题是这个函数是一个常数，只是函数的一个特定情况，即Fy的值与x,y都无关

你上面追问的图片不清，导致我看成F（x,y）=y•f（x），而实际上上F（x,y）=y-f（x）,故更正Fy=1，即Fy的取值与x,y都无关，这只是函数的特例，就比如y=1它表示一条直线一样，Fy=1它表示的是一个平面

而且是平行与xOy的平面，不论x,y取何止，函数Fy的值都为1

追问

那为什么直接偏微分没有这个结果呢

就是对F=0求偏微分

追答

因为两边同时求偏微分，y是一个变量，即F对y的偏微分=y对y的偏微分-f（x）对y的偏微分=0,即1-f（x）对y的偏微分=0，这是一个方程，而不是你所说的Fy=0,注意Fy的求法和两边同时偏微分是不同的

追问

那我这样那里错了？

追答

更确切的说法是Fy他表示了随x,y的不断变化，而函数z＝F（x,y）的对y的偏增量与y的增量之间的函数关系，而对F（x,y）＝0两边求偏导，表示的是函数z＝F（x,y）,当z对y的偏微分等于0时，x,y所满足的隐函数方程，很显然，这两个是不一样的。借助空间想象仔细体会。

追问

感觉他不对啊

把抽象函数形象了

追答

追问

是这个意思吗

就是方程两边求导之后等号是不是不一定成立

追答

下面那个方程最后的解是y=0即表示当y=0时，函数F（x，y）对y的偏增量都为0，你发现没有，Fy当y=0时也为零，即下面对两边同时求偏导，最后解出来的只是Fy=0的解

追问

假设成立后必须要找出满足求偏导后方程的点
才可以

。

方程两边求偏导后时间上是在找两边函数对x偏导后 某一点处两边函数偏导数都相等的那个点

是不是这个意思啊

追答

不是x,y,z，是x,y，只有两个变量，是满足Fy=0方程的（x,y）的集合

追问

我想看看这个理解对不对

追答

你只有两点变量，哪来的z••

追问

是z=

两边看成z的函数

追答

z对x求导，或者对y求导，最后都是关于x,y的函数，不会多出来个z

追问

追答

对的，不是一个点，是一个集合

是一条曲线

一元函数是线，两条线的交点是点，二元函数是曲面，两个曲面的交线是曲线

最长马拉松式回答

追问

那为什么方程两边求了偏导后等号一定出来呢

有可能不成立啊

追答

不成立就是没有解

具体解释

https://www.zhihu.com/question/37331851

同学你思维真是惊奇

慎用两边同时求导，他是有条件的

追问

还是最早的那个图片

我把F具体化

那这样吧

重新说

我最开始提问题的那个图片 怎么保证那个y的偏导一定有解呢？

追答

你看了我发给你的知乎回答了吗

去看看，我也学习到了

追问

我看了

懂那个意思

但是

我最开始的那个问题
图片里面 他是怎么保证
F关于y的偏导数=1 能够成立呢

他没有特别说明啊

一看也不是那种恒等的

追答

你这题目中zx＋zy就是横等于1

两边函数处处相等

还有一种就是解方程的情况，就是我上面说的

追问

为啥二阶偏导数连续呢？

为啥zxy=zyx呢

追答

这个我就不知道了，应该是F有二阶偏导数，不知道怎么证明，自己慢慢研究吧

追问

帮帮忙嘛 谢谢啦 原题是这样的

追答

不知道怎么证，一般题目应该也不需要证，它都要你证明zxx＋2zxy＋zyy=0了，肯定是相等的，做题的时候就加上这一句就行了啊

追问

但是二阶导数连续怎么推出Zxy=Zyx呢

追答

这个就是二阶混合偏导相等的充分条件啊，证明我也不会，可以百度

追问

再小问一下嘛

问号那里怎么理解呢 这个不是恒等啊

追答

隐函数求偏导啊，我上面讲了那么多

把x看做常量，f（x）就是个常量啊，对y求偏导，y对y的偏导就是1