Question

分子或（分母）为同阶无穷小之和的时候，能用等价无穷小吗？我知道在一些情况下不能，能举个反例吗

分子或（分母）为同阶无穷小之和的时候，能用等价无穷小吗？我知道在一些情况下不能，能举个反例吗或者说加什么条件可以？我会追加100分，求解答

Answer 1

例如x--->0时，lim(x-sinx)/x^3=？
若用x替代sinx,则原式=lim(x-x)/x^3=0
事实上，lim(x-sinx)/x^3=lim(1-cosx)/3x^2=limsinx/6x=1/6
注意：使用等价无穷小替代，所替代的代数式与其余的代数式之间必须是乘除法关系，加减法是不行的。

追问

请问加减的两个项之间，添加什么条件可以替换呢？

追答

只能整项替代才可以。
如x--->0时，lim(1-cosx)/x^2=？
1-cosx等价于x^2/2,
故原式=limx^2/2 / x^2=1/2

Answer 2

都知道是同阶无穷小了，你还用等价干嘛？

追问

就是这个讨论问题

就是求极限过程中用等价无穷小

追答

哦，不好意思看错题了。看成分子与分母为同阶无穷小了。
不能等价无穷小替换。
例如x趋于0时
x+x²与-x+x²为同阶无穷小，它们分别与x和-x等价，替换后结果为0，而不替为x²

追问

谢谢！但我们讨论中还有个问题我想不到。。替换有些情况下可以，比如ln（1+x）与sin x相加为0，替换后仍为0。那么满足什么条件才可以加减用等价无穷小呢？

追答

ln（1+x）与sin x相加不为0

替换合并后，只要不降阶，就可以替换。

追问

x趋向于0的时候 是0啊

我找到一种条件 但是不知道怎么证明的。。

追答

x+x²与-x+x²为同阶无穷小，它们分别与x和-x等价
你自己体会为什么不能等价替代。
这是最明显的了。