Question

一道高数题在线等求助

Answer 1

x(n)=tanx(n) = tan(x(n)-npi)
在(npi -pi/2, npi+pi/2)考察函数g(x)=x-tan(x-npi)
g'(x)=1-(sec(x-npi))^2 <0
所以g(x)单调减

对于任意给定n，x->kpi-pi/2时，tan(x-npi) ->负无穷大，x-tan(x-npi)趋于正无穷大
x->kpi+pi/2时，tan(x-npi) ->正无穷大，x-tan(x-npi)趋于负无穷大
所以x=tan(x-npi)在(npi -pi/2, npi+pi/2)必存在根
而此时当n趋于正无穷大时，x->正无穷大，tan(x-npi)也必然趋于正无穷大，所以x-npi趋于pi/2
x(n)~npi+pi/2
1/x(n)^2 <= 1/(npi)^2 = 1/(pi)^2 *1/n^2
所以该级数小于1/(pi)^2 *1/n^2,而1/(pi)^2 *1/n^2收敛，所以该级数收敛

Answer 2

(n-1)PI-PI/2<xn<(n-1)PI+PI/2，夹逼法则懂得吧？
第二题一样

Answer 3

这是18讲第5章中值定理的例题