Question

线性代数题，要个过程，谢谢

11题

Answer 1

对任意方阵 A，令 B = (A+A^T)/2，C = (A-A^T)/2，
由于 B^T = (A^T+A)/2 = B，C^T = (A^T - A)/2 = -C，
所以 B 是对称矩阵，C 是反对称矩阵，
并且 A = B+C 。

Answer 2

由于B是对称矩阵，C为反对称矩阵，那么对于任意i,j，bij=bji，cij=-cji.
而A=B+C，所以，bij+cij=aij；bij-cij=aji。
将上两式视为非齐次方程组，它的系数矩阵的秩等于其增广矩阵的秩，都为2，所以，非其次方程有且只有一个解。
即，bij，cij只有唯一解。因此，存在唯一的对称矩阵B和反对称矩阵C，使得A=B+C.