Question

lim（x趋向于0）[ln（1+2x）+xf（x）]/x＾2=1

则limx趋向于02+f（x）/x= 答案是三

Answer 1

lim（x趋向于0）[ln（1+2x）+xf（x）]/x＾2=1解法分析：

1、原式=lim(x->0)[(4x/(1+2x²))/(2x)] (0/0型极限，应用罗比达法则)=lim(x->0)[2/(1+2x²)]=2/(1+0)=2。

2、原式=lim(x->0){ln[(1+2x²)^(x²)]}=ln{lim(x->0)[(1+2x²)^(x²)]}=ln{lim(x->0)[(1+2x²)^(1/(2x²))]²}=ln{lim(x->0)[(1+2x²)^(1/(2x²))]}²=ln(e²) (应用重要极限lim(z->0)[(1+z)^(1/z)]=e)=2lne=2。

概念分析

1、数列极限标准定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。

2、函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。

Answer 2

从已知中可以知道x与f(x)是等阶无穷小，所以它们的比值的极限是1，因此可以得到答案是3。

Answer 3

直接用书上的泰勒公式，答案如图所示

Answer 4

题目不明，原题拍照！
中括号内有+-，ln(1+2x)不能用2x代替！麦克劳林展式至少取2项，稳妥点应该取3项。
ln(1+2x)~2x-4x^2/2+8x^3/3
具体要看f(x)