Question

因数个数与因数和定理（要详细过程）

1。求不大于200的只有15个因数的自然数
2。在有20个不同因数的自然数中最小的一个是多少？

Answer 1

1、解：根据约数个数定理，由于15＝15*1＝3*5，对于15*1的情况，由于2^14＝16K，远远大于200，不用考虑。
对于15＝3*5的情况，存在两个质因数，即p^2*q^4<200;
经试算，只可选p=3,q=2,该数为144。

2、解：由于20＝20*1＝10*2＝5*4
20＝20*1时，最小的自然数为2^19＝512K；
20＝10*2时，最小的自然数为2^10*3=3K;
20=5*4时，最小的自然数为2^4*3^3=16*27=432.
所以，在有20个不同因数的自然数中最小的一个是432.

Answer 2

因数个数等于不同质因数的指数分别加1后相乘的积。
1、
15 = 5×3 ，
可得：该自然数有1个或2个质因数。
只有1个质因数时，指数为 14 ；
有2个质因数时，指数分别为 4和2 ；
经验算，只有 2^4×3^2 = 144 不大于200 ，
所以，该自然数为 144 。
2、
20 = 5×2×2 = 10×2 = 5×4 ，
可得：该自然数有1个或2个或3个质因数。
只有1个质因数时，指数为 19 ；
有2个质因数时，指数分别为 9和1 或 4和3；
有3个质因数时，指数分别为 4和1和1 ；
要使自然数最小，则指数大的质因数要尽量小，
比较 2^9×3 、2^4×3^3 、2^4×3×5 ，
可得：自然数最小为 2^4×3×5 = 240 。