Question

求幂级数的和函数，通过逐项积分或求导得到的怎样的新级数才是能用的，比如x*n这种

Answer 1

这类题目的思路就是利用求导或者积分，把系数中的n去掉，让它变成纯纯x^n相加的等比级数，这样就好求了，别忘了求出和以后要变回去，比如先求导再求和之后要积一次分，才是真正要求的答案。
(1)前面系数是n，通过积分可以把系数n消掉，
①消去n
∫nx^n-1 dx=x^n（积分常数必然取为0，否则不收敛）
②求和
Σx^n=x/(1-x)这个就是等比级数的求和公式。
③求导还原出最后结果
[x/(1-x)]'=1/(1-x)²
(2)系数是1/n可以通过求导消去
①消去n
[x^n/n]'=x^(n-1)
②求和
Σx^(n-1)=1/(1-x)这个就是等比级数的求和公式。
③积分还原出最后结果
∫1/(1-x) dx=ln(1-x)+C
对比常数项，x=0时应该得0，所以C=0
最后结果是ln(1-x)
(3)还是分母上有n，求导消去
①消去n
[x^(2n+1)/(2n+1)]'=x^(2n)
②求和
Σx^(2n)=1/(1-x²)这个就是等比级数的求和公式（注意n从0开始）。
③积分还原出最后结果，这个积分稍微要算一下，用部分分式展开的办法计算
∫1/(1-x²) dx=1/2 ∫[1/(x+1)+1/(1-x)]dx=1/2 ln[(x+1)/(1-x)]+C
对比常数项，x=0时应该得0，所以C=0
最后结果是1/2 ln[(x+1)/(1-x)]
不保证上面计算都正确，楼主检查检查，总之思路要清楚。