Question

一道定积分证明题？

请问这道题目下面添加了一个f(1)=0后该如何证明出这个两个结论，我用红圈标注起来了

Answer 1

27 I = ∫<下0, 上π> xf(sinx)dx
= ∫<下0, 上π/2> xf(sinx)dx + ∫<下π/2, 上π> xf(sinx)dx
后者令 x = π-u， 则
I = ∫<下0, 上π/2> xf(sinx)dx + ∫<下π/2, 上0> (π-u)f(sinu)(-du)
= ∫<下0, 上π/2> xf(sinx)dx + ∫<下0, 上π/2> (π-u)f(sinu)du，
定积分与积分变量无关， 后者将 u 换为 x
I = ∫<下0, 上π/2> xf(sinx)dx + π∫<下0, 上π/2> f(sinx)dx
- ∫<下0, 上π/2> xf(sinx)dx
I = π∫<下0, 上π/2> f(sinx)dx