Question

概率统计题？

Answer 1

分享三种解法。根据定义和题设条件，E(X)=∫(0,∞)xf(x)dx=∫(0,∞)x²e^(-x²/2)dx。选C。
①利用N(0,1)密度函数性质求解。为求E(X)，视“E(X)”中“X~N(0,1)”。则其密度函数t(x)=Ae^(-x²/2)，其中A=1/√(2π)，x∈R。此时，D(X)=∫(-∞,∞)x²t(x)dx=2A∫(0,∞)x²e^(-x²/2)dx=1。∴∫(0,∞)x²e^(-x²/2)dx=1/(2A)。故，E(X)=(1/2)√(2π)=√(π/2)。
②利用伽玛函数【Γ(α)】的性质求解。设x²/2=t。∴E(X)=(√2)∫(0,∞)[t^(1/2)]e^(-t)dt=(√2)Γ(3/2)=(√2/2)Γ(1/2)=√(π/2)。
③转换成二重积分求解。E(X)=∫(0,∞)x²e^(-x²/2)dx=∫(0,∞)y²e^(-y²/2)dy。∴[E(X)]²=∫(0,∞)x²e^(-x²/2)dx∫(0,∞)y²e^(-y²/2)dy。令x=rcosθ，y=rsinθ。0≤θ≤π/2，0≤r≤∞。……，易得相同结果。
供参考。