Question

f〔x〕= -x²+2ax-1 在【0，4】最值

Answer 1

f〔x〕=
-x²+2ax-1
=-(x-a)^2+a^2-1

对称轴为x=a

(1)当a<0时
函数在[0,4]上递减
所以最大值在x=0处取得，为-1；最小值在x=4处取得，为8a-17

(2)当a>4时
函数在[0,4]上递增
所以最小值在x=0处取得，为-1；最大值在x=4处取得，为8a-17

(3)当0<=a<=4时
最大值x=a处取得，为a^2-1；当0<=a<2时
最小值在x=4处取得，为8a-17；当2<=a<4时，最小值在x=0处取得，为-1。

Answer 2

该函数图象的对称轴为x=a，开口向下的抛物线，当a＜0时，最大值为-1，最小值为8a-17，当a=0时，最大值为a²-1，最小值为8a-17，当0＜a＜2时，最大值为a²-1，最小值为8a-17，当a＞2时，最大值为a²-1，最小值为-1

Answer 3

求导：f'(x)=-2x+2a
当-2x+2a≥0,则a≥x≥4
单增，所以x=4时取极值，为8a-17
当x≤a≤0时，函数単减。
则当x=0时，函数取极值，为-1
当0<a<4时，在顶点处，取极值，f(x)=-(x-a)²+a²-1,当x=a时，取得极值a²-1