Question

如图,在RT三角形ABC中,角C=90度,D是AB的中点,E、F分别在AC、BC上,且DE垂直于DF

在RT三角形ABC中，角C=90度 D是AB的中点，E，F分别在AC,和BC上，且DE垂直DF：求证EF的平方=AE的平方加BF的平方
拜托拉，图不难画，就是不会做嘛.....
拜托帮忙拉，答案对的可以加分。
酷毙了

Answer 1

证明：延长FD到点G，使GD=DF

连接EG

则EG=DF

易证△ADG≌△BDF

∴AG=BF

可得AG‖BC（利用全等后的内错角）

∴∠GAE=90°

∴AE²+AG²=EG² 

∴AE²+BF²=EF²

有图片更好理解

Answer 2

重来！

证明：延长FD到点G，使GD=DF
连接EG
则EG=DF
易证△ADG≌△BDF
∴AG=BF
可得AG‖BC（利用全等后的内错角）
∴∠GAE=90°
∴AE²+AG²=EG²
∴AE²+BF²=EF²
刚才理解错了，不好意思！

Answer 3

如图，过点D分别作AC，BC的垂线，垂足分别为G，H。

因为D为AB的中点，△ABC为直角三角形

所以AG=CG，BH=CH，且DG⊥DH

又因为DE⊥DF

所以∠GDE=∠HDF

又有∠EGD=∠FHD=90度

所以△EGD∽△FHD

所以DG/DH=GE/FH=（CG-CE）/(BH-BF)=（GE+CG-CE）/(FH+BH-BF)=（GE+AG-CE）/(FH+CH-BF)=（AE-CE）/（CF-BF）

（注：GE/FH=（CG-CE）/(BH-BF)=（GE+CG-CE）/(FH+BH-BF)=（这一步用到了分数的合比性质，即如果a/c=b/d那么有a/c=b/d=(a+c)/(b+d)）

又因为DG/DH＝DG/AG=BC/AC

所以BC/AC=（AE-CE）/（CF-BF）

所以BC*（CF-BF）=AC*（AE-CE）又有BC=CF+BF，AC＝AE+CE

所以(CF+BF）*（CF-BF）=(AE+CE）*（AE-CE）

CF^2-BF^2＝AE^2-CE^2

CF^2+CE^2＝AE^2+BF^2

根据勾股定理有：CF^2+CE^2＝EF^2

所以AE^2+BF^2＝EF^2，命题得证

Answer 4

证明：
过点D分别作AC，BC的垂线，垂足分别为G，H。
因为D为AB的中点，△ABC为直角三角形
所以AG=CG，BH=CH，且DG⊥DH
又因为DE⊥DF
所以∠GDE=∠HDF
又有∠EGD=∠FHD=90度
所以△EGD∽△FHD
所以DG/DH=GE/FH=（CG-CE）/(BH-BF)=（GE+CG-CE）/(FH+BH-BF)=（GE+AG-CE）/(FH+CH-BF)=（AE-CE）/（CF-BF）
又因为DG/DH＝DG/AG=BC/AC
所以BC/AC=（AE-CE）/（CF-BF）
所以BC*（CF-BF）=AC*（AE-CE）又有BC=CF+BF，AC＝AE+CE
所以(CF+BF）*（CF-BF）=(AE+CE）*（AE-CE）
CF^2-BF^2＝AE^2-CE^2
CF^2+CE^2＝AE^2+BF^2
因为CF^2+CE^2＝EF^2
所以AE^2+BF^2＝EF^2