Question

线性代数证明题(有2题)

Answer 1

1、α1，α2，…，αn是Ax＝0的一个
基础解系
，所以α1，α2，…，αn
线性无关

设β，β＋α1，β＋α2，…，β＋αn
线性相关
，则存在不全为零的数k0，k1，k2，kn，使得
k0β＋k1(β＋α1)＋k2(β＋α2)＋…＋kn(β＋αn)＝0
即(k0＋k1＋k2＋…＋kn)β＋(k1α＋k2α2＋…＋knαn)＝0...................（1）
所以，A(k0＋k1＋k2＋…＋kn)β＋A(k1α1＋k2α2＋…＋knαn)＝0，即可(k0＋k1＋k2＋…＋kn)Aβ＝0，所以k0＋k1＋k2＋…＋kn＝0.............（2）
代入（1）得k1α1＋k2α2＋…＋knαn＝0，因为α1，α2，…，αn线性无关，所以k1＝k2＝…＝kn＝0
代入（2），得k0＝0
所以，k0＝k1＝k2＝…＝kn＝0，这与k0，k1，k2，kn不全为零矛盾，所以β，β＋α1，β＋α2，…，β＋αn线性无关