Question

如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（-1，0），B（0， 3），O（0，0），

Answer 1

：解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，
又A（0，1），B（2，0），O（0，0），
∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．
设抛物线的解析式为：
，
∵抛物线经过点A′、B′、B，
，解之得
，
满足条件的抛物线的解析式为
.．
（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，
设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足
．
连接PB，PO，PB′，

.
假设四边形
的面积是
面积的
倍，则
，
即
，解之得
，此时
，即
.
∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．
（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．
①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；
③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．

Answer 2

解：（1）∵抛物线过
设抛物线的解析式为
又∵抛物线过
，将坐标代入上解析式得：
即满足条件的抛物线解析式为
（2）（解法一）：如图1，∵
为第一象限内抛物线上一动点，
设
则
点坐标满足
连接
=
当
时，
最大．
此时，
．即当动点
的坐标为
时，
最大，最大面积为
（解法二）：如图2，连接
为第一象限内抛物线上一动点，
且
的面积为定值，
最大时
必须最大．
∵
长度为定值，∴
最大时点
到
的距离最大．
即将直线
向上平移到与抛物线有唯一交点时，
到
的距离最大．
设与直线
平行的直线
的解析式为
联立
得
令
解得
此时直线
的解析式为：
解得
∴直线
与抛物线唯一交点坐标为
设
与
轴交于
则
过
作
于
在
中，
过
作
于
则
到
的距离
此时四边形
的面积最大．
∴
的最大值=