Question

如何利用图象求二次函数解析式？

Answer 1

求解析式：①一般情况下，设函数解析式为y=ax²+bx+c，代入题目给出的三个点，列出方程，求解
a、b、c的值，得函数解析式，利用图像中的各点
②若题目给出二次函数的顶点，设函数解析式为y=a（x+h）²+b（二次函数的顶点公式）
代入顶点和题目已给出的另一点，列出方程，解出a、h、b的值，的函数解析式
③若题目给出二次函数与x轴的两个交点，设函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，代入与x轴的
两个交点，列出方程，解得a、x1、x2的值，的函数解析式
对称轴公式：-（b/2a）
开口方向及最值：y=ax²+bx+c中，a＞0，开口向上，y有最小值
a＜0，开口向下，y有最大值

Answer 2

1、对称轴平行于y轴的抛物线经过a（1，0），b（2，0），c（3，4）三点。
解：对称轴平行于y轴的抛物线方程可设为：y=ax^2+bx+c
抛物线经过a（1，0），b（2，0），c（3，4）
将其代入方程可得：
0=a+b+c
0=4a+2b+c
4=9a+3b+c
解得：a=2,b=-6,c=4
所以抛物线方程为:
y=2x^2-6x+4
2、对称轴平行于y轴的抛物线的顶点是（-2，3），且经过点（-1，5）。
解：对称轴平行于y轴的抛物线方程可设为：y=ax^2+bx+c
顶点坐标为（－b/2a,(4ac-b^2)/4a）
则有－b/2a＝-2
(4ac-b^2)/4a＝3
且经过点（-1，5）
5=a-b+c
三式联立得：a=2,b=8,c=11
所以抛物线方程为:
y=2x^2+8x+11
3抛物线y=-x2+bx+c经过点a（1，0）对称轴是x=3。
解：经过点a（1，0）则有
0=-1+b+c
对称轴是x=3
则有
－b/2a＝b/2=3
得到b=6
代入上式可得
c=-5
所以抛物线方程为:
y=-x^2+6x-5
4对称轴平行于y轴抛物线的顶点坐标是（-
，4
），它与y轴交点的纵坐标4。
解：对称轴平行于y轴的抛物线方程可设为：y=ax^2+bx+c
顶点坐标为（－b/2a,(4ac-b^2)/4a）顶点坐标是（-
，4
）？
同上一样可解
y轴交点的纵坐标为4
即当x=0时
y=c=4
联立下就能得到抛物线方程
5、二次函数的图象过（4，-3）点，且x=3时，二次函数有最大值-1。
解：二次函数方程可设为：y=ax^2+bx+c
(a<0)
图象过（4，-3）
则有
－3=16a+4b+c
且x=3时，二次函数有最大值-1
显然开口向下
顶点坐标为（－b/2a,(4ac-b^2)/4a）
则有－b/2a＝3
(4ac-b^2)/4a＝－1
三式联立得：a=－2,b=12,c=－19
所以方程为:
y=-2x^2+12x-19
6、对称轴平行于y轴的抛物线经过直线y=
x+3与两坐标轴的交点，且过
（1，1）。
解：对称轴平行于y轴的抛物线方程可设为：y=ax^2+bx+c
y=
x+3与两坐标轴的交点
为（0，3）（－3，0）且过（1，1）
代入方程可得
3=
c
0=9a-3b+c
1=a+b+c
三式联立得：a=－1/2,b=-3/2,c=3
所以抛物线方程为:
y=－1/2x^2-3/2x+3
7、对称轴平行于y轴的抛物线经过点（-1，1）和（2，1）且与x轴只有一个公共点。
解：对称轴平行于y轴的抛物线方程可设为：y=ax^2+bx+c
经过点（-1，1）和（2，1）
1=a-b+c
1=4a+2b+c
与
x轴只有一个公共点
则方程ax^2+bx+c＝0
只有一个解
即：b^2－4ac＝0
三式联立得：a=4/9,b=-4/9,c=1/9
所以抛物线方程为:
y=4/9x^2-4/9x+1/9
6、抛物线y=ax^2＋bx+c经过（0，-1）和（3，2）两点，顶点在直线y=3x-3上，开口向下。
解：抛物线方程为：y=ax^2+bx+c(a<0)
经过（0，-1）和（3，2）两点
则
－1=
c
2=9a+3b+c
顶点在直线y=3x-3
则
(4ac-b^2)/4a＝－3b/2a
－3
三式联立得：a=－1,b=4,c=－1
所以抛物线方程为:
y=－x^2+4x－1
8、抛物线y=ax^2＋bx+c与x轴交于a（-3，0）对称轴为x=1，顶点到x轴的距离为2。
解：抛物线方程为：y=ax^2+bx+c
x轴交于a（-3，0）则有
0=9a－3b+c
对称轴为x=1则有
－b/2a＝1
顶点到x轴的距离为2
则有｜
(4ac-b^2)
/4a｜=2
三式联立得：a=1/8,b=-1/4,c=－15/8
或
a=－1/8,b=1/4,c=15/8
所以抛物线方程为:
y=1/8x^2-1/4x－15/8或y=－1/8x^2+1/4x+15/8
9、已知抛物线y=ax^2＋bx+c经过点a（1，2），b（0，-1），c（6，7）三点，求它解析式。
解：经过点a（1，2），b（0，-1），c（6，7）
2=a+b+c
-1=c
7=36a+6b+c
三式联立得：a=-1/3,b=10/3,c=－1
所以抛物线方程为:
y=-1/3x^2+10/3x－1
10、已知二次函数的图象经过（3，0）、（2，-3）两点，对称轴为x=1，求这个函数的解析式。
解：方程可设为：y=ax^2+bx+c
经过点（3，0）、（2，-3）
0=9a+3b+c
-3=4a+2b+c
对称轴为x=1即：-b/2a＝1
三式联立得：a=1,b=-2,c=-3
所以抛物线方程为:
y=x^2-2x-3