Question

设正实数x,y,z满足x^2-3xy+4y^2-z=0,则z/xy取得最大值时,x+2y+-z的最大值为 (A)0 (B) 9/8 (C)2 (D) 9/4

Answer 1

题目有点问题,
z/(xy)没有最大值.
由条件z
=
x²+4y²-3xy,
故z/(xy)
=
x/y+4y/x-3.
取x
=
1,
当y趋于0时,
可知右端趋于正无穷.
正确的说法可能是z/(xy)取最小值或者等价的(xy)/x取最大值.
根据均值不等式,
z/(xy)
=
x/y+4y/x-3
≥
2·√((x/y)(4y/x))-3
=
1.
等号成立当且仅当x/y
=
4y/x,
即x
=
2y时z/(xy)取得最小值1.
此时z
=
x²+4y²-3xy
=
2y²,
x+2y-z
=
4y-2y²
=
2-2(y-1)².
在y
=
1时取得最大值2.
故选C.