Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列...

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足：an=b13+1+b232+1+b333+1+…+bn3n+1，求数列{bn}的通项公式； （Ⅲ）令cn=anbn4（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，
知a1=2满足该式，
∴数列{an}的通项公式为an=2n．（2分）
（Ⅱ）∵an=b13+1+b232+1+b333+1+…+bn3n+1（n≥1）①
∴an+1=b13+1+b232+1+b333+1+…+bn3n+1+bn+13n+1+1②（4分）
②-①得：bn+13n+1+1=an+1-an=2，
bn+1=2（3n+1+1），
故bn=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）
（Ⅲ）cn=anbn4=n（3n+1）=n•3n+n，
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）
令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①
则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②
①-②得：-2Hn=3+32+33+…+3n-n×3n+1
=3(1-3n)1-3-n×3n+1
∴Hn=(2n-1)×3n+1+34，…（10分）
∴数列{cn}的前n项和Tn=(2n-1)×3n+1+34+n(n+1)2…（12分）