Question

已知圆C的圆心在直线2x+y＝0上，且圆C与直线x－y－1＝0相切于点P（2，1）

①求圆C的标准方程 ②判断直线l：x+2y+6＝0与圆C的位置关系

Answer 1

①求圆C的标准方程
过点P（2，1）且与直线x－y－1＝0垂直的
直线方程
是
x+y-3=0
直线x+y-3=0和直线2x+y＝0交点是（-3，6）
点（-3，6）和点P（2，1）距离等于5√2
圆C的标准方程（x+3)²+(y-6)²=50
②判断直线l：x+2y+6＝0与圆C的位置关系
过点（-3，6）且与直线l：x+2y+6＝0垂直的直线方程是
2x-y+12=0
直线2x-y+12=0与直线l：x+2y+6＝0是（-6，0）
点（-6，0）和点P（-3，6）距离等于3√5<5√2
直线l：x+2y+6＝0与圆C的位置关系是相交

Answer 2

假设圆心为（a,-2a）,半径为r,
可得到圆的方程为：
(x-a)^2+(y+2a)^2=r^2
圆c经过点a(2,-1),可得到：
(2-a)^2+(-1+2a)^2=r^2........(1)
根据直线x+y=1相切，可得到：
r^2=|a-2a-1|^2/(1+1)
2r^2=(a+1)^2....(2)
解方程可得到：
a=1,r^2=2
圆的方程为：(x-1)^2+(y+2)^2=2