Question

椭球面切平面的截距

高等数学,多元函数微分学的几何应用
在椭球面x^2+y^2+z^2/4=1的第一卦限部分上求一点,使椭球面在该点处的切平面在三个坐标轴上的截距之平方和最小.
请详细一点.
能否把求截距那段说清楚点，谢谢

Answer 1

椭球x^2+y^2+z^2/4=1上任一点(x0,y0,z0)的切平面为
2*x0*(x-x0)+2*y0*(y-y0)+z0/2*(z-z0)=0在x轴,y轴,z轴上的截距为
（1/x0,1/y0,4/z0)
令S=1/x0^2+1/y0^2+16/z0^2
下面用拉格朗日乘数法求条件x0^2+y0^2+z0^2/4-1=0极值
令L=1/x0^2+1/y0^2+16/z0^2+a*(x0^2+y0^2+z0^2/4-1=0)
Lx=-2/(x^3)+2*a*x=0 (1)
Ly=-2/(y^3)+2*a*y=0 (2)
Lz=-32/(z^3)+a*z/2=0 (3)
x0^2+y0^2+z0^2/4-1=0 (4)
结合1~4及x>0,y>0,z>0得(x0,y0,z0)=(1/2,1/2,2^(1/2)/2)
则最小值点为(1/2,1/2,2^(1/2)/2),最小值为S(x0,y0,z0)=40
希望解决你的问题!