Question

f(x)的定义域关于原点对称 F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数 G(x)=f(x)-f(-x)为奇函数

原因，谢谢

Answer 1

定义判断:
F(x)=f(x)+f(-x)则F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)还是F(x)满足F(-x)=F(x)定义故为偶函数。同理G(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-G(x)为奇函数。
"因为f(x)的定义域关于原点对称，所以有f(-x)=-f(x),所以
对于F(x)，有F(-x)=f(-x)+f[-(-x)]=-f(x)+f(x)=f(-x)+f(x)=F(x),所以
F(x)为偶函数;
同理对于G(x),有G(-x)=f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]
=-G
(x)
所以G(x)为奇函数
"
这个解答“因为f(x)的定义域关于原点对称，所以有f(-x)=-f(x),”有问题，定义域关于原点对称是奇偶性的必要条件。如果按该解答所说“所以有f(-x)=-f(x)”那只要定义域关于原点对称就是奇函数了?显然不对。