Question

已知定义在区间上的函数满足,且当时,.求的值; 判断的单调性;若,解不等式.

已知定义在区间上的函数满足,且当时,. 求的值; 判断的单调性; 若,解不等式.

Answer 1

根据恒等式,赋值,即可求得的值;设,利用恒等式可得,再根据当时,,即可得,从而根据函数单调性的定义,判断出函数的单调性;根据恒等式,赋值,,即可求得,将不等式等价转化为,根据中的结论可得的单调性,利用单调性去掉",即可得不等式,求解不等式可得到不等式的解集.
解:定义在区间上的函数满足,令,则,即;设,则,,且当时,,,,函数在上单调递增;令,,代入,可得,又,,不等式可转化成不等式,由可知函数在上单调递增,,即,而,,不等式得解集为.
本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值,及利用函数的单调性求解不等式,同时考查了函数单调性的判断与证明,注意一般单调性的证明选用定义法证明,证明的步骤是:设值,作差,化简,定号,下结论.解题的关键是将不等式进行合理的转化,然后利用单调性去掉".考查了函数知识的综合应用.属于中档题.