Question

△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a 2 =b（b+c），求证：A=2B

△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a 2 =b（b+c），求证：A=2B．

Answer 1

证明：由正弦定理可知，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a
2
=b（b+c）中，
得sin
2
A=sinB（sinB+sinC）
∴sin
2
A-sin
2
B=sinBsinC
∴
1-cos2A
2
-
1-cos2B
2
=sinBsin（A+B）
∴
1
2
（cos2B-cos2A）=sinBsin（A+B）
∴sin（A+B）sin（A-B）=sinBsin（A+B），
因为A、B、C为三角形的三内角，
所以sin（A+B）≠0．所以sin（A-B）=sinB．
所以只能有A-B=B，即A=2B．