Question

复变函数，求过程

如图

Answer 1

(1)因为lim f(z)一f(0) =lim Rex=limRex=0，
20 x 20 x0
所以f(z)在x=0可导.
(2)当x0时，有
f(x+△x)-f(x) (x+△x)Re(x+△x)-zRez
△x △x
=[Re(x+△z)-Re z]+Re(x+△z).
△x
令△x=△x+i△y，于是
f(x+△x)-f(x)
△x
△x =之△x+i△y+x+△x.
当x+△x沿平行于虚轴方向趋于时(即△x=0，△y0)，上述比值其极限为x；当x+△x沿平行于实轴方向趋于x时(即△y=0，△x0)，上述比值其极限为x+x.
所以当x0时，Linmf(x+△x)-f(x)不存在.
△x
故f(z)在x0时不可导，于是得知f(z)=zRex仅在原点z=0可导，此外处处不可导，故由解析的定义知f(z)=zRex在平面上处处不解析.
方法二：令x=x+iy，则f(z)=(x+iy)x=a+ixy，
所以u(x，y)=x，v(x，y)=xy.
从而u=2x，uy=0，Vz=y，Vy=x.
此四个偏导数在x平面连续.要满足C.-R.方程，必须要x=y=0成立.即f(x)=x+ixy仅在原点x=0可导，从而在平面上处处不解析.

Answer 2

可导性。事实上，复变函数可以看做二元函数。只不过要满足CR方程。
想要证明它不可导，跟高数的二元函数一样，随便取两条轨迹。证明从这两条轨迹到同一点的导数不同即可。
证明它可导，最好先证明一下解析性。也就是这个函数是否满足CR方程。如果满足，再证明它的可导性。需要证明它处处可导，或者某些地方可导某些不可导。就需要放大眼睛，灵活应变。可能需要用到不仅仅是复变函数，高数知识，尤其是二元函数的可导性也要用到了。