Question

若一个向量组的秩为r,则这个向量组中任意r个向量都线性无关对吗

Answer 1

证明：设a1，a2，......，ar为a1，a2，......，as中任意一个线性无关的向量组，aj（j=1,2，....，s）为向量组中的任意一个向量，则a1，a2，......，ar，aj线性相关。否则与向量组的秩为r矛盾。所以aj,可由a1，a2，......，ar线性表出，即向量组中的每一个向量可由a1，a2，......，ar线性表出，所以a1，a2，......，ar为向量组的一个极大线性无关组。