Question

设x＞0，y＞0，证明不等式： ＞ .

Answer 1

思路分析：本题含有根式，首先考虑化为整式能否证明，进一步整理，发现可以用基本不等式证明，故采用分析法，当然也可以用综合法.

证明：（分析法）所证不等式即：(x 2 +y 2 ) 3 ＞(x 3 +y 3 ) 2

即：x 6 +y 6 +3x 2 y 2 (x 2 +y 2 )＞x 6 +y 6 +2x 3 y 3

即：3x 2 y 2 (x 2 +y 2 )＞2x 3 y 3

只需证：x 2 +y 2 ＞ xy.

∵x 2 +y 2 ≥2xy＞ xy成立

∴(x 2 +y 2 ) ＞(x 3 +y 3 ) .

（综合法）∵(x 2 +y 2 ) 3 =x 6 +y 6 +3x 2 y 2 (x 2 +y 2 )≥x 6 +y 6 +6x 3 y 3

＞x 6 +y 6 +2x 3 y 3 =(x 3 +y 3 ) 2

又∵x＞0 y＞0 ∴ ＞ .