Question

反常积分的定义是什么？

Answer 1

反常积分又叫做广义积分。广义积分（反常积分）、瑕积分、常义积分之间由3点不同：

三者的定义不同：广义积分（反常积分）的定义：反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。

瑕积分的定义：瑕积分是高等数学中微积分的一种，是被积函数带有瑕点的广义积分。

常义积分（指的是定积分）的定义：定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

三者的特点不同：广义积分（反常积分）的特点：积分区间无穷。瑕积分的特点：函数在一点的值无穷，但面积可求。

常义积分（指的是定积分）的特点：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有。

三者的性质不同：

广义积分（反常积分）的性质：对于上下限均为无穷，或被积分函数存在多个瑕点，或上述两类的混合，称为混合反常积分。对混合型反常积分，必须拆分多个积分区间，使原积分为无穷区间和无界函数两类单独的反常积分之和。

瑕积分的性质：瑕积分又称为无界函数的反常积分。常义积分（指的是定积分）的性质：一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。

一个连续函数，一定存在定积分和不定积分。若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。