Question

不定积分如何求？

Answer 1

不建议采取截止本回答发出时已有的其他回答，下图展示了使用分部积分法计算这个不定积分的正确步骤。

想要计算这个不定积分，我们知道这个f(x)在全区间上都是连续函数，因此f(x)原函数的一定是存在的。

但是，有原函数并不代表它能够用基本初等函数形式来表达。

故我们可以考虑，使用泰勒公式将f(x)进行展开为幂级数，计算其收敛域后再计算它的不定积分。

①使用麦克劳林公式对f(x)=e^(x^2)进行部分展开，可以改写为一个幂级数。

②根据幂级数的收敛域求法：

求①中所得幂级数的收敛半径R：

则①中幂级数的收敛域为I = (-∞,+∞)。

③根据幂级数求和函数的性质：

可以计算问题中的不定积分：

该结果中的幂级数的收敛域与原级数相同，都为I = (-∞,+∞)。

Answer 2

例如：抛物线y^2=0.2x在点A(0.2,0.2)处法线围成区域面积的计算

• 主要内容：

本文通过定积分知识，介绍抛物线y^2=0.2x在点A(0.2,0.2)处法线围成区域面积的计算步骤。



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• 主要步骤：

∵y^2=0.2x，求导有

∴2ydy/dx=0.2，即dy/dx=0.2/2y,

在点A(0.2,0.2)处，有该点的切线的斜率k为：

k=dy/dx=0.2/(2*0.2)=1/2,

则该点处法线的斜率k1=-2,



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此时法线的方程为:

y-0.2=-2 (x-0.2)，

化简得y1=-2x+0.6,则x=(0.6-y)/ 2。

由法线和抛物线构成的方程组，求出二者的交点B,C.

y^2=0.2 (0.6-y)/ 2，即：

2y^2+0.2y-0.12=0，因式分解为：

(y-0.2)(y+0.3)=0.

所以y1=0.2，y2=-0.3.



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此时抛物线方程变形为x=1y^2/0.2,所围成的区域以dy为计算单位，则所求的面积S为：

S=∫[y2:y1][( 0.6-y)/ 2-y^2/0.2]dy

=∫[y2:y1]( 0.6/2-y/2-y^2/0.2)dy，积分有：

=(0.6y/2-y^2/2*2-y^3/0.6) [y2:y1]

=0.6/2*(0.2+0.3)- (0.2^2- 0.3^2)/4-1/0.6*(0.2^3+ 0.3^3)

=0.66+0.012-0.0583

=0.613.



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