Question

3.41求函数 f(x)=-2xlnx 的渐近线.

Answer 1

首先，观察函数 $f(x)=-2x\ln{x}$，当 $x\rightarrow 0^+$ 时，函数的值趋近于 $0$，因此可以考虑 $x=0$ 为函数的垂直渐近线。
接下来，我们可以求出 $f(x)$ 的导数：
$$f'(x)=-2\ln{x}-2$$
当 $x\rightarrow 0^+$ 时，$\ln{x}\rightarrow-\infty$，因此 $f'(x)\rightarrow-\infty$，说明 $x=0$ 处的垂直渐近线是函数 $f(x)$ 的一个渐近线。
接着，我们来求水平渐近线。当 $x\rightarrow +\infty$ 时，$\ln{x}\rightarrow+\infty$，因此 $f'(x)\rightarrow-\infty$，说明函数 $f(x)$ 有一条水平渐近线 $y=k$，其中 $k$ 是一个常数。
对于 $x\rightarrow +\infty$，我们有：
$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-2x\ln{x}}{x}=-\infty$$
因此，函数 $f(x)$ 的水平渐近线 $y=k$ 满足：
$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)-k=0$$
也就是说，
$$\lim_{x\rightarrow+\infty}-2x\ln{x}-k=0$$
根据洛必达法则，有：
$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-2x\ln{x}-k}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}-2\ln{x}= -\infty$$
因此，$k=0$，所以函数 $f(x)$ 的水平渐近线为 $y=0$。
综上所述，函数 $f(x)=-2x\ln{x}$ 的渐近线为 $x=0$ 和 $y=0$。

Answer 2

应该没有渐进线