Question

10.简答题求由抛物线 y=x^2 和直线y=x+2所围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转

Answer 1

该图形的横坐标范围为 $x\in[-1,2]$，纵坐标范围为 $y\in[1,6]$。绕 $x$ 轴旋转一周后，将得到一个旋转体，其体积可以通过积分求解。

将 $y=x^2$ 和 $y=x+2$ 相交得到交点 $(1,3)$ 和 $(2,4)$，因此旋转体可以分为两部分：

当 $x\in[-1,1]$ 时，该部分的截面是由抛物线和 $x$ 轴所围成的图形绕 $x$ 轴旋转所得的圆锥体。其半径为 $r=x$，高为 $h=x^2$，因此体积为
V
1
=
∫
−
1
1
π
r
2
h
d
x
=
∫
−
1
1
π
x
2
(
x
2
)
d
x
=
2
π
5
V
1
​
=∫
−1
1
​
πr
2
hdx=∫
−1
1
​
πx
2
(x
2
)dx=
5
2π
​

当 $x\in[1,2]$ 时，该部分的截面是由直线 $y=x+2$ 和 $x$ 轴所围成的图形绕 $x$ 轴旋转所得的圆柱体。其半径为 $r=x+2$，高为 $h=(x+2)^2-x^2=4x+4$，因此体积为
V
2
=
∫
1
2
π
r
2
h
d
x
=
∫
1
2
π
(
x
+
2
)
2
(
4
x
+
4
)
d
x
=
103
π
3
V
2
​
=∫
1
2
​
πr
2
hdx=∫
1
2
​
π(x+2)
2
(4x+4)dx=
3
103π
​

因此，所求旋转体的体积为 $V=V_1+V_2=\frac{2\pi}{5}+\frac{103\pi}{3}=\frac{323\pi}{15}$。
望采纳。