Question

（∞∑n=1)(-1)^(n-1)x^(2n+1)/n(2n-1)的收敛域及函数？

Answer 1

求收敛域：对an=(-1)^(n-1)x^(2n+1)/n(2n-1),
n次根号下（|an|）=n次根号（x^(2n+1)/n(2n-1)）-->x^2
所以收敛域首先包含|R|<1
然后判断x=1，-1的端点情况
x=1时，an=（-1）^(n-1)/n(2n-1),交错收敛
x=-1时，an=(-1)^n/n(2n-1)，交错收敛
所以收敛域是|R|≤1
求函数：（下面的∑都是1到无穷）
注意到an=(-1)^(n-1)*x*x^(2n)*2/[2n(2n-1)]
所以f(x)=∑an=x*∑（-1）^(n-1)*x^2n/[2n(2n-1)]=x*g(x)

要求的是f,而f=x*g,先求g:
而f,g在（-1,1）内的任意闭区间上一致收敛，可以逐项求导
注意g''(x)=∑（-1）^(n-1)x^(2n-2)=∑(-x²)^(n-1)=1/（1+x²）
所以g'=arc tan x+C,取x=0代入g'(x)=∑(-1)^(n-1)x^(2n-1)/(2n-1)
g'(0)=0,
g'=arc tan x
g=积分（0到x）arctanx dx+C=x*arc tanx-0-积分（0到x）x/(1+x²) dx+C
g(x)=x arctanx - 1/2*ln(1+x²)+C
由g(0)=0知C=0
所以g=x arctanx - 1/2*ln(1+x²)
f=x*g=x² arctanx - 1/2*x*ln(1+x²)