Question

已知函数f(x)对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1，且f(1)=1，若x属于N正，求f(x)

已知函数f(x)对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1，且f(1)=1，若x属于N正，求f(x)

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Answer 1

令y=1
上式变为：f(x+1)=f(x)+f(1)+2*(x+1)+1 --->
f(x+1)-f(x)=f(1)+2*(x+1)+1 =2x+4

由于x属于正整数，那么这个就跟数列是一样的了，相当于a(n+1)-a(n)=2n+4，首项a(1)=1的求法。

答案是:f(x)=x²+3x-3,x属于N+

Answer 2

本题有误。是不是打错了？x和y明显应该是对称的才对。
比如：
f(2+1)=f(1)+f(2)+2*(2+1)*2+1=21
f(2+1)=f(1)+f(2)+2*(2+1)*1+1=15
矛盾。
故此原题可能是f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+y)+1
此情形下可求出
f(2)=7
f(x+1)=f(x)+2x^2+2x+2
具体为数列，可以转化为与f(x)有关的等比数列求解。
f(x)=2/3x^3+4/3x-1 (x为自然数)

Answer 3

因为：
f(n+1)-f(n)=(f(n)+f(1)+2n(n+1)+1)-f(n)=f(1)+2n(n+1)+1=2n(n+2)=2((n+1)*（n+1）-1)
所以当n从1到m，可以获取到m的式字，式子左边相加，右边相加及可

Answer 4

本题的才对令y=1
上式变为：f(x+1)=f(x)+f(1)+2*(x+1)+1 --->
f(x+1)-f(x)=f(1)+2*(jtyrtyerztw属于N+