Question

定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时,

定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时,f（x）<0恒成立
1.判断函数f（x）的奇偶行，并证明
2.证明f（x）为减函数；若函数f（x）在【-3,3）上，总有f（x）≤6成立，是确定f（1）应满足的条件。

Answer 1

f(0)=f(0)+f(0)，得到f(0)=0
f(x+y)=f(x)+f(y)得到f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(0)=0
so f(-x)=-f(x) 奇函数

设a>0
f(x+a)=f(x)+f(a)
f(a)<0
所以f(x+a)<f(x)

因为减函数，只需f(-3)<=6,f(3)>=-6
f(1)=f(-3+4)=f(-3)+f(4)
=f(-3)+2f(1)+2f(1)
3f(1)=-f(-3)=f(3)>=-6

f(1)>=-2

Answer 2

令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)，得到f(0)=0
由已知条件f(x+y)=f(x)+f(y)得到f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(0)=0
所以f(-x)=-f(x)
所以该函数为奇函数
应该还有第二个问，利用剩下的已知条件判断单调性