Question

函数f(x)=根号下1+x^2(a不等于b),求证,|f(a)-f(b)|<|a-b|

急求过程,要详细些

Answer 1

解：（1）函数f(x)=√(1+x²).定义域为R.求导得f'(x)=x/√(1+x²).由均值不等式可知，1+x²≥2|x|.===>|x|/√(1+x²)≤1/2＜1.即对任意实数x,恒有|f'(x)|≤1/2.(2)易知，在R上，函数f(x)连续可导，(不妨设a<b.)则在[a,b]上，由拉格朗日中值定理可知，存在实数ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f'(ξ)*(b-a).两边取绝对值得:|f(b)-f(a)|=|f'(ξ)|*|b-a|,由（1）可知，|f'(ξ)|＜1.故有|f(a)-f(b)|＜|a-b|.