Question

高等数学 连续与可导

有这样两个定理或者推论
1> 函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是 f'(x0)的左右极限存在且相等.
2> 如果函数f(x)在点x0处可导,则函数在该点必然连续

我就不明白了
现在假定有函数f(x)在其定义域上连续可导.在定义域上加入可去间断点x0,得到函数g(x). 那这个g(x)是可导还是不可导呢?
例如 f(x)=sinx. g(x)=sinx,x不为0时.g(0)=1
两句话都是出自 《高等数学》教材 同济大学主编,高教出版社出版 第五版
第一个是 p82 关于单侧导数的描述
第二个是 p84 关于函数可导性与连续性的关系

关于我举的例子,g(x)在x<0,和x>0时可导,有g'(x)=cosx.同时,g'(0)的左导数和右导数存在且相等,都是cos0. 那么g(x)在x=0这一点可导.所以g(x)在整个定义域上可导.左右极限都是存在的

Answer 1

答案在插图 你错了，首先你就认定g(x)的导数就是cosx这本身就是错的，因为在零点是不连续的。在其他的地方我不否定是cosx，但是0点处是个断点，求导数不是把0值代入的，要用定义的，我的插图已经给出定义了，分母是不为0的，那个极限是不存在的。特别是对你的这个可去间断点来说，左右极限都是不存在的 。对与那种跳跃间断点要么是左极限存在要么是右极限存在。你再好好体会。对于没有定义的点求导一定要返回到导数的定义，深刻理解导数的本质。其实从那个极限式也知道如果某点处导数不连续了也就是该点的函数值发生了阶梯变化，那么在极限式的分母两函数值相减就不可能在他两自变量相近的时候而趋向0了，那么与一个趋向0的自变量差值相比求极限怎么可能存在呢？？？？

Answer 2

请你搞清楚，求导是针对于函数而言的，而不是某一具体函数值。在其特定区间上按段光滑的函数极为连续函数，亦即可导。

Answer 3

第一条明显是错的，楼主你看错了吧（断章取义？），或者书上写错也是有可能的

Answer 4

1.
结论1是错误的，正确的结论是：
函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是f(x)在x0处的左右导数存在且相等
不是“f'(x0)的左右极限”！！！

2.你举的例子g(x)=sinx (x≠0），g(0)=1 在x＝0处不连续，所以由结论2，它在x＝0处不可导，那你求出g(x)在x＝0处可导的错误的原因在哪儿呢？
首先，可以使用求导公式求导的前提是“连续”
其次，x＞0时，g(x)＝sinx，g'(x)＝cosx，但是g(x)在x＝0处的右导数是否也符合g'(x)＝cosx呢？你“显然”认为是可以的了

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综上，对于分段函数，求其在分段点处的导数时，一般使用定义求左右导数。对于其他用一个式子表示的函数(去掉带绝对值或根号之类的)，一般可以直接用公式