Question

在等腰梯形ABCD中，CD平行AB，对角线AC.BD相交于点O，∠ACD=60度，点S,P,Q分别为OD,OA,BC的中点。

（1）求证：△PQS是等腰三角形；（2）若AB=5，CD=3.求△PQS的面积；（3）若△PQS的面积与△AOD的面积比是7：8，假设梯形上，下两底CD=a，AB=b（b＞a） ，求a：b的值。（A在梯形左下，B在右下，C在右上，D在左上）

Answer 1

1.由已知可得OAB与OCD都是等边三角形，连接CS和BP可知，CS垂直于BD，BP垂直于AC，所以在直角三角形BSC中，SQ是斜边BC上的中线，所以SQ=BC/2，同理可得PQ=BC/2，又PS是三角形OAD的中位线，所以PS=AD/2
又因为等腰梯形AD=BC，所以SQ=PS=PQ，即三角形PQS为等边三角形

2.由已知得，AB=OA=OB=5，CD=OC=OD=3，又角BOC=120度，由余弦定理得BC=7，所以等边三角形PQS的边长为7/2，则其面积S=49根号3/16

3.设CD=x，AB=y，由第二问三角形PQS的面积可表示为
[根号3(a^2+ab+b^2)]/16，三角形OAD的面积可表示为(根号3ab)/4，
它们的比为7:8，化简得
2a^2-5ab+2b^2=0
解得，a/b=1/2或a/b=2/1