Question

如图，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，对角线AC、BD相交于O，∠ACD=60°，点S、P、Q分别为OD、OA、BC的中点

Answer 1

1.由已知可得oab与ocd都是等边三角形，连接cs和bp可知，cs垂直于bd，bp垂直于ac，所以在直角三角形bsc中，sq是斜边bc上的中线，所以sq=bc/2，同理可得pq=bc/2，又ps是三角形oad的中位线，所以ps=ad/2
又因为等腰梯形ad=bc，所以sq=ps=pq，即三角形pqs为等边三角形
2.由已知得，ab=oa=ob=5，cd=oc=od=3，又角boc=120度，由余弦定理得bc=7，所以等边三角形pqs的边长为7/2，则其面积s=49根号3/16
3.设cd=x，ab=y，由第二问三角形pqs的面积可表示为
[根号3(a^2+ab+b^2)]/16，三角形oad的面积可表示为(根号3ab)/4，
它们的比为7:8，化简得
2a^2-5ab+2b^2=0
解得，a/b=1/2或a/b=2/1

Answer 2

证明：连接CS、BP；
因为
等腰梯形
ABCD，CD//AB，
所以OC=OD,OA=OB；
又因为∠ACD=60°，
所以三角形COD、AOB为
等边三角形
。
在等边三角形COD、AOB中，因为S、P分别为OD、OA中点，
所以CS垂直于BD，BP垂直于AC；
在
直角三角形
CSB中，因为Q是BC中点，
所以QS=1/2BC=1/AD；
又在直角三角形BCP中，因为Q是BC中点，
所以QP=1/2BC=1/AD；
所以QS=QP=1/2AD；
又因在三角形AOD中，P、S分别为OA、OD的中点，
所以PS=1/2AD；
所以QS=QP=PS
即△PQS是等边三角形！