Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90,AB＝AC，D为BC的中点,E为AC上一点，点G在BE上，

如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90,AB＝AC，D为BC的中点,E为AC上一点，点G在BE上，连结DG并延长交AC于F，若∠FGE＝45度，试说明（1）AG⊥BE（2）若E为AC中点，求EF：FD的值
我觉得这是一条通过角相等来证明的题目，可我不知道怎么证明，求过程，谢谢了
感谢您的解答，有一个问题，有点疑惑
设AB=2a AE=a 为什么又有
∴AE=AB*AE/BE=(2/√5)a

Answer 1

（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90,AB＝AC，D为BC的中点
∴AD⊥BC 故△BAD∽△BCA
∴BD:BA=BA:BC
∴BA×=BD×BC
∵△DBG∽△EBC
∴BD:BE=BG:BC 即：BD×BC=BE×BG
∴BA×BA=BG×BE 即：BG:BA=BA:BE
∴△BAG∽△BEA ∠BGA=∠BAE=90
∴AG⊥BE

（2）证明：连接DE，E是AC中点，D是BC中点，
∴DE//BA ，因为BA⊥AC，所以 DE⊥AC
设AB=2a AE=a
做CH⊥BE交BE的延长线于H（图可看上图）
∵∠AEG=∠CEH,∠AGE=∠CHE,AE=EC
∴△AEG≌△CEH(AAS)
∴CH=AG ∠GAE=∠HCE
∵∠BAE为直角
∴BE=√5a
∴AE=AB*AE/BE=(2/√5)a
∴CH=(2/√5)a
∵AG⊥BE，∠FGE=45
∴∠AGF=45=∠ECB
∵∠DFE=∠GAE+∠AGF=∠HCE+∠ECB;
∴∠DFE=∠BCH
又∵DE⊥AC ，CH⊥BE
∴△DEF∽△BHC
∴EF:DF=CH:BC=(2/√5)a:2√2a=1:√10=√10/10

Answer 2

本题主要考察出现中点、垂线及角平分线时辅助线的做法。观察图形可知，我们可以构造等腰三角形，将已知的条件集中到一起，从而可以作出辅助线：延长BE至G，使EG=BE，连接CG、GD，延长AF交GC于H。利用这些新的条件我们可以找到线段之间的等量关系。
2．对于有中点、垂线及角平分线时辅助线的作法，一般有：①构造中位线；②构造对称的图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件，本题中我们延长BE至G，使EG=BE，连接CG、GD，延长AF交GC于H，结合已知条件得到△BDG是等腰三角形，请你思考是用了哪种作法。

Answer 3

估计是写错了。
由BG:BA=BA:BE 可算出BG，即x：2a=2a：√5a，x=（4/√5）a
∵△BAG∽△BEA ，∠BGA=90°，∴AG=（2/√5）a =CH
这样就对了。。

Answer 4

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