Question

已知函数f(x)=a³x-3x+1，对于x属于[-1,1]区间，总有f(x)≥0成立,求实数a的值

Answer 1

题目应该是抄错了，原题中的f(x)是f(x)=ax³-3x+1，而不是f(x)=a³x-3x+1，
这是2008年江苏的高考题，解答过程如下：
f(x)=ax³-3x+1
1.a=0,f(x)=-3x+1,x∈[-1,1],f(1)=-2与对于任意x属于【-1，1】，都有f（x）≥0成立”不符。
2。a≠0
f'(x)=3ax²-3=3a(x²-1/a)
(1)若a<0,有f'(x)<0,f(x)在[-1，1]上单调递减，
故x=1时，f(x)取得最小值a-2,
∵对于任意x属于【-1，1】，都有f（x）≥0成立
∴a-2≥0
a≥2与a<0矛盾，
∴a<0时，不符合。
(2)a>0,f'(x)=3ax²-3=3a(x²-1/a)=3a(x+1/√a)(x-1/√a),x∈[-1,1],
1)0<a<1时,f'(x)<0,f(x)在[-1，1]上单调递减，由上面的推导可知
a≥2，也与0<a<1矛盾
∴0<a<1时，不符合。
2)a=1,f(x)=x³-3x+1
f(1)=-1,与“对于任意x属于【-1，1】，都有f（x）≥0成立”矛盾
∴a=1时，不符合。
3)a>1,x∈[-1,-1/√a),f'(x)>0,f(x)单调递增，
x∈(-1/√a,1/√a),f'(x)<0,f(x)单调递减，
x∈(1/√a,1],f'(x)>0,f(x)单调递增，
故f(x)取得最小值只能在x=-1或x=1/√a取得.
∴f(-1)≥0且f(1/√a)≥0
即:-a+4≥0且-2/√a+1≥0
解得a≤4且a≥4
∴a=4
综上可知实数a的值是4。

Answer 2

f(x)=a³x-3x+1=(a³-3)x+1
1）若a³-3>0，则须f(-1)=-a³+3+1≥0
∴三次根号3<a≤三次根号4
2）若a³-3<0，则须f(1)=a³-3+1≥0
∴三次根号2≤a<三次根号3
3）若a³-3=0，则须f(x)=1≥0
∴a=三次根号3
综上可知，三次根号2≤a≤三次根号4